関数とは

y軸方向へ

「軸方向へ平行移動」はちゃんと理解できたでしょうか？出来てないならもう一度戻って完全に理解してくださいね。

式変形

x軸方向へに戻るではここからは「軸方向へ平行移動」したときの式変形を考えていきたいと思います。しかし、心配することはありませんよ？「軸方向へ平行移動」と考え方は何ら変わりありません。とても簡単なお話です。ただし、皆さんが今まで中学生のときからやってきた式変形は捨てていただくこととなるかも知れません。

さて、最初に「グラフの平行移動へ飛びますか？グラフの平行移動」からずっと使ってきている式をもう一度呼び出してみましょう！

$\displaystyle y=f(x)$	$\displaystyle =x^2 - 2x + 1$	(48)
	$\displaystyle =(x - 1)^2$	(49)

もう説明の必要はありませんね。ではこの式(49)が表すグラフを描いてみましょう。

**図 47:** y=f(x)=x²-2x+1のグラフ

何度も目にしているグラフですから、すぐに描けますよね？ではここからが今回のテーマです。軸方向へだけ平行移動してみましょう！グラフは図48のようになります。

**図 48:** y=f(x)をy軸方向へ2だけ平行移動

を軸方向へ2だけ平行移動したグラフを表す式をとします。そうするとグラフから読み取ったらすぐに式は書けますね。

$\displaystyle y=g(x)$	$\displaystyle =(x - 1)^2 + 2$	(50)
	$\displaystyle =x^2 -2x + 4$	(51)

この方法がきっと最初に習う方法だと思います。上（軸方向）に移動した分だけ、元の式の右辺に加えるという方法のことです。しかし、後々数学的に式から図形を理解するために

$\displaystyle y=a(x-p)^2 + q$

(52)

となっていたら $(p,\ q)$ が頂点とかいう覚え方はやめて下さい。これだとちょっと今後発展性がないからです。

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グラフの比較

では軸方向へ平行移動のときと同じように移動前と移動後の二つのグラフを並べて見てみましょう。

**図 49:** y=f(x)とy=g(x)のグラフ

二つを見比べると気付くことがありますね。軸方向へ平行移動のときにも言いましたが…そうです！グラフの形が同じですよね。グラフの形が同じ…というのはつまり「式が同じ形をしている」でしたね。分からなければグラフの平行移動のページを見てください。従ってはという形で表されます。

表3:

と

の各値

第1式			第2式
$\displaystyle y=f(x)$			$\displaystyle y=f(○)$
$\displaystyle x=0$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=1$	$\displaystyle x=0$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=1$
$\displaystyle x=1$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=0$	$\displaystyle x=0$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=0$
$\displaystyle x=2$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=1$	$\displaystyle x=0$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=1$
$\displaystyle x=3$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=4$	$\displaystyle x=0$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=4$

表3をご覧下さい。第1式は図49の左図のグラフの式を示しています。もちろん第2式は右図のグラフの式 y=g(x)=f(○)の $0\leqq x \leqq 4$ に対応する各座標の値を示したいのですが…、しかしの形をしているので、○に0や1などを入れてものときと同じ値を示してしまいます。

さらに今回「軸方向へ平行移動」と違うのは、左右にいくらxの値をずらしても全てのxにおいてy=g(x)を満足する値がないということです。試しに図49の左図のグラフを左右に色々とずらしてみてください。すぐに絶対に一致しないことがわかりますよね？それは頂点がy軸方向へずれているからです。

逆に頂点の座標は実は変わっていませんね。つまりを中心とした左右のとその座標の関係は第1式も第2式も変わらないのです。ただ、第2式において座標が2つ多いだけなのです。では改めて y=g(x)=f(○)において、本当は欲しい関係を作ってみましょう。

表4: 実際に欲しい関係

第2式
$\displaystyle y=f(○)$
$\displaystyle x=0$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=3$
$\displaystyle x=1$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=2$
$\displaystyle x=2$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=3$
$\displaystyle x=3$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=6$

をf(○)に代入するととなってしまいます。でもこのときはとなって欲しいわけです。さらにをf(○)に代入するととなりますが、実際はになって欲しいわけです。

しかし、この願いは叶いません。なぜならば、 $f(\ )$ の形がすでに決定してしまっているので、 $f(\ )$ に数値を代入した結果はすでに決定済みだからです。ではどのようにしたらいいのでしょう？

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求める式

そろそろ図49から遠くなりましたので、もう一度表示してみましょう。

**図 50:** y=f(x)とy=g(x)のグラフ

表5: 必ず出力される値と欲しい値の関係

第2式
$\displaystyle y=f(○)$
入力値		出てくる値		欲しい値
$\displaystyle x=0$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=1$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=3$
$\displaystyle x=1$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=0$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=2$
$\displaystyle x=2$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=1$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=3$
$\displaystyle x=3$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=4$	$\mathrm{\unitlength 1mm \begin{picture}(15,3) \put(4,1.3){\vector(1,0){8}} \end{picture}}$	$\displaystyle y=6$

表5には、 $f(\ )$ に値を代入したときに「絶対出てしまう値」と「欲しい値」の関係を示しました。つまり $f(\ )$ に各を代入したときの値よりも毎回2だけ大きいyの値が欲しいということがわかりました。ですから第1式がに対して第2式は

$\displaystyle y - 2=f(x)$

(53)

という式になります。頂点（）からの左右への開き具合は同じだけれどもyの座標が2つだけ大きい関係を持つグラフを表す式です。

きっと分かりにくいでしょうね…。ですから具体例を挙げて説明します。を代入してみてください。式(53)の右辺はですから1という値になります。そのとき左辺も1にならなくてはなりません。第1式ですとそのままその値がになりますが、式(53)で表される第2式では左辺はですからになるようなの値しか式(53)を満たしません。そこで、そのようなはを満たすようなよりも2つだけ大きい値になりますよね？だってのように2引いた値がにならなくてはならないわけですから。ですから式(53)においてのときのはになります。

回りくどかったでしょうか。もう一つだけやってみます。のとき右辺はとなります。ですから左辺はという等式によりと求まります。つまりのときと比べての値がだけ大きくなっています。

式(53)を見て式(50)と変わらないじゃん！と思った方もいらっしゃると思います。しかし、この後グラフの対称移動においてその効果がはっきりと発揮されます。是非軸方向への平行移動はの方（左辺）にその効果を表現してあげてください。

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BLACK BOXにて

ここでこのイメージをそのままBLACK BOXで表現してみたいと思います。

**図 51:** 本出力yからフィルターで戻して判定
$\includegraphics[width=.8\textwidth]{blackbox12.eps}$

BLACK BOXの左から入力が入ります。機能はのままですからその出力は当然と同じものとなります。その出力はとりあえず判定装置の左から入力させます。

ところで一番右の本出力には、BLACK BOXの出力よりも2だけ大きい出力が並んでいます。それを左向きにフィルターに代入してフィルターが2を引いた結果を判定装置の右から代入します。その二つがあっていれば「○」を出力するようになっています。つまり、○になるような本出力 はかならずBLACK BOXの出力よりもすべて2だけ大きい値になりますね。この一番左端のと一番右端の本出力のとの関係が平行移動した後の関数の関係となります。少しは分かってもらえたでしょうか？

ではまとめます。

y軸方向へβ だけ平行移動する場合、元の式がy=f(x)であったら、移動後の式は y-β=f(x) と表される

ということです。是非覚えてください。

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